PENGANTAR METODE NUMERIK

PENGANTAR METODE NUMERIK





METODE ANALITIK VS METODE NUMERIK

Dalam persoalan penyelesaian model matematika dikenal ada 2 metode :
Metode analitik
Metode numerik

Metode analitik adalah disebut juga metode sejati karena menghasilkan penyelesaian sejati (exact solution) atau penyelesaian yang sesungguhnya yang mempunyai galat atau kesalahan (error) sama dengan nol dengan menggunakan rumus-rumus aljabar yang sudah baku.

Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaiakan persoalan matematik dengan operasi hitungan atau aritmetika biasa (+, -, ×, ÷ ) yang menghasilkan penyelesaian pendekatan (approximation) sehingga selalu dihadapkan pada kesalahan (error), namun penyelesaian pendekatan dapat dibuat seteliti yang diinginkan. Penyelesaian metode numerik tidak tepat dengan metode analitik, sehingga ada selisih antara keduanya, selisih inilah yang disebut dengan galat (error).



Seringkali model matematik muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau rumit yang tidak dapat diselesaiakan dengan rumus baku yang ada dalam metode analitik sehingga penyelesaiannya harus menggunakan metode numerik. Sebagai contoh ilustrasi berikut:

i) Tentukan akar persamaan polinom

23.4x7 – 1.25x6 +120x4 + 15x3 – 120x2 – x + 100 = 0


ii) Tentukan system persamaan lanjar/linier (linear) :

1.2a - 3b - 12c + 12d + 4.8e - 5.5f + 100g = 18

0.9a + 3b - c + 16d + 8e - 5f - 10g = 17

4.6a + 3b - 6c - 2d + 4e + 6.5f - 13g = 19

3.7a - 3b + 8c - 7d + 14e + 8.4f + 16g = 6

2.2a + 3b + 17c + 6d + 12e - 7.5f + 18g = 9

5.9a + 3b + 11c + 9d - 5e - 25f - 1 0g = 0

1.6a + 3b + 1.8c + 12d - 7e + 2.5f + g = -5


Menghadapi soal seperti diatas, anda mungkin menyerah atau mungkin mengatakan bahwa soal tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah baku. Soal (i) biasanya untuk derajat 2 untuk mencari akar polinom dengan rumus abc yang sudah terkenal.

x1,2 = - b ± (b2 – 4ac)1/2 / 2a

namun untuk polinom derajat > 2 tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom.


Metode numerik dan metode analitik berbeda dalam 2 hal :

1) Solusi metode numerik selalu berbentuk angka. Sedangkan metode analitik biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka.

2) Metode numerik hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan.

Perhatikanlah bahwa 4x - x3/3 adalah solusi analitik dalam bentuk fungsi matematik, sedangkan 22/3 adalah nilai numerik integral-tentu yang diperoleh dengan cara mengevaluasi fungsi matematik tersebut.

Dalam kalkulus bahwa interpretasi geometri integral f(x) dari x = a sampai x = b adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, garis x = a dan x = b. Luas daerah tersebut dapat dihampiri dengan cara sebagai berikut:

Bagilah daerah integrasi [-1, 1] atas sejumlah trapesium dengan lebar misalkan 0.5 (Gambar 1). Maka, luas daerah integrasi dihampiri dengan luas ke-4 buah trapesium, atau

I » p + q + r + s

» {[f(-1) + f(-1/2)] x 0.5/2} + {[f(-1/2) + f(0)] x 0.5/2} +

{[f(0) + f(1/2)] x 0.5/2} + {[f(1/2) + f(1)] x 0.5/2}

» 0.5/2 {f(-1) + 2f(-1/2) + 2f(0) + 2f(1/2) + f(1)}

» 0.5/2 {3 + 7.5 + 8 + 7.5 + 3}

» 7.25

yang merupakan solusi pendekatan (tanda “» “ artinya “kira-kira”) terhadap solusi sejati (22/3). Error/galat/kesalahan solusi hampiran terhadap solusi sejati adalah

= ½7.25 – 22/3 ½ = ½ 7.25 – 7.33…½ = 0.08333...


KESALAHAN/GALAT (ERROR)

Kesalahan/galat adalah selisih antara nilai sebenarnya (exact) dan nilai pendekatan atau perkiraan (approximation) yang disebut sebagai kesalahan absolute. Galat menggambarkan seberapa dekat penyelesaian pendekatan terhadap penyelesaian sejatinya/sebenarnya (exact).

Andaikan â merupakan nilai pendekatan terhadap nilai eksakt a, maka kesalahan mutlak/absolut (absolute error) nya adalah ε = a – â.

Beberapa macam jenis kesalahan :

1) Kesalahan relitif (relative error)

yaitu kesalahan absolute dibagi dengan nilai sejati/sebenarnya.

εR = ε/a

atau dalam persentase

εR = ε/a x 100%

Karena kesalahan dibandingkan dengan nilai sejati nya, maka kesalahan relative tersebut dinamakan kesalahan/galat relatif sejati. Dalam praktek kita tidak tahu nilai sejati a, karena itu galat ε seringkali dinormalkan terhadap nilai pendekatan, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif pendekatan :

εRA = ε/ â


Contoh

Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai pendekatan = 3.333. Tentukan galat, galat mutlak, galat relatif (sejati), galat relatif pendekatan.

Penyelesaian

galat = 10/3 – 3.333 = 10/3 – 333/1000 = 1/3000 =0.000333…

galat mutlak = ι 0.000333…ι = 0.000333…

galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/1000 = 0.0001

galat relatif pendekatan = (1/3000)/3.333 = 1/9999

Galat relatif pendekatan yang dihitung dengan persamaan εRA = ε/ â mengandung kelemahan sebab nilai ε masih memerlukan nilai a yang mana dalam perhitungan numerik sering tidak diketahui. Dalam perhitungan numerik yang menggunakan pendekatan lelaran/iterasi (iteration), εRA dihitung dengan cara

εRA = (ar+1 – ar) / ar+1

dalam hal ini ar+1 adalah nilai pendekatan iterasi sekarang dan ar adalah nilai pendekatan iterasi sebelumnya. Proses iterasi dihentikan bila

εRA < εS

dalam hal ini εS adalah toleransi galat yang dispesifikasikan/diinginkan.


2) Kesalahan pemotongan (truncation error)

yaitu kesalahan yang ditimbulkan akibat penggunaan pendekatan sebagai pengganti persamaan eksak atau persamaan matematik yang kompleks diganti dengan persamaan yang lebih sederhana. Kesalahan pemotongan ini misalnya pada deret suku-suku yang tak berhingga sehingga hanya beberapa suku saja yang diambil.

Contoh

Tentukan nilai cos (x) dengan bantuan deret Taylor disekitar x = 0.

Penyelesaian

cos (x) = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! + x8/8! – …

deret Taylor fungsi cos (x) sebenarnya tak berhingga, namun untuk keperluan praktis deret tersebut dipotong sampai suku orde tertentu saja, missal sampai suku orde n = 8 seperti contoh diatas. Jumlah suku-suku selanjutnya setelah pemotongan merupakan kesalahan pemotongan untuk cos (x).



3) Kesalahan pembulatan (round-off error)

Yaitu kesalahan yang terjadi karena ada pembulatan angka misalnya 4.23572 dibulatkan menjadi 4.236 sehingga terjadi kesalahan sebesar 0.00028.

Bilangan 2/3 dinyatakan 0.66667 (5 desimal), p dinyatakan 3.1416 (4 desimal) dan Ö2 dinyatakan 1.4142 (4 desimal).



4) Kesalahan bawaan (inheren)

Yaitu kesalahan dari data sendiri yang mungkin terjadi karena pengamatan yang kurang tepat atau karena adanya kekeliruan. Misalnya dalam pengukuran yang seharusnya panjang sama dengan 6.05 meter ditulis 6 meter saja dan sebagainya.



5) Blunder (mistakes)

Blunder bukanlah error. Misalnya bilanagan 6798 ditulis/dibaca 6789; bilangan 53227 dibaca sebagai 52337.

Buku Ende

Buku Ende No.281 : Martua do na marhaposan.

Martua do na marhaposan, tu DEBATA Amantai.

Ai ido dapot pangapulan di nasa parsorion i.

Ndang rihit ha o ja han ni na mangkaposi Tuhan i.



Ianggo sai holsoan hita,tu aha na margunai?

Nang pe tongtong dodok rohanta pasarisari jea i,

Tung ima paoruhon i, baliksa ganda do disi.



Dibahen i paso ma jolo huhut pasabam rohami,

Paidaida,manang olo ho unduk di DEBATAmi.

Ibana na mamillit ho, na ringkot i diboto do.



Mura do anggo di TUHANta, sobok do digogona i.

Na mora i papogosonna, mambaen sangap na pogos i.

Longang ma sogot rohami mananda PAMBAENANNA I.



Buku Ende No.170 : Ia aek santetek

1.Ia aek santetek na otik do i

Molo sai manetek, mangalantap i

2.Tano,laut nang hosa, na godang do i;

Molo pungu dosa ,na jorbut do i

3.Ise do mamorsan dosami ,ale?

Ise haluaan ni tondim muse?



4.I ma Tuhan Jesus, siparasi i;

Nunga ho ditobus, sian dosami.

5.Somba ma Ibana, sipangolu i

Asa tung disesa dosami sude.

6.Haholongi JESUS , ALO ma DOSAM

Asa DIPABULUS Sasude LAKKAM.

7.Asa dipabongot ho tu SURGO i,

Sonang ma ho sogot, SALELENG na i.



Buku Ende No.66 : DEBATA Baen donganmi

1.DEBATA baen DONGANmi! Lao Mangula Ulaonmu,

Baen Ibana haposanmu,sai paserep ro hami

DEBATA baen DONGANmi DEBATA Baen DONGANmi.



2.DEBATA Baen DONGANmi! Molo DEBATA donganmu,

Ndang tarbahen ho be lilu, sai ture do langkami.

DEBATA baen DONGANmi DEBATA baen DONGAnmi.



3.DEBATA Baen DONGANmi! Sai na saut do ulaonmu,

Sai na tulus do sangkapmu,Jala SONANG rohami.

DEBATA baen DONGANmi DEBATA baen DONGANmi.

Apakah TOEFL itu?

Apakah TOEFL itu?

TOEFL (Test of English as a Foreign Language) adalah tes bahasa Inggris yang dirancang untuk mengukur penguasaan bahasa Inggris mereka yang bahasa ibunya bukan bahasa Inggris. Tes ini dikembangkan dan diselenggarakan oleh ETS (Educational Testing Service) sebuah lembaga nirlaba yang berkedudukan di Amerika Serikat dan pertama kali diselenggarakan pada tahun 1964. Nilai TOEFL biasanya merupakan salah satu persyaratan masuk di sejumlah 2400 perguruan tinggi di Amerika, Kanada dan 80 negara lainnya di dunia (ETS: 1999).
Kemampuan apa saja yang diuji dalam tes TOEFL?

Ada tiga bagian tes TOEFL yang harus dikerjakan oleh peserta tes. Bagian pertama adalah soal-soal yang mengukur kemampuan Listening Comprehension dalam jumlah 50 soal, Structure & Written Expression , 40 soal, dan Reading Comprehension, 50 soal. Keseluruhan soal dibuat dalam bentuk pilihan berganda (kecuali untuk Computer Based TOEFL ada soal esai yang menguji kemampuan mengarang peserta dalam bahasa Inggris serta variasi lain bentuk soal seperti menjodohkan, meng highlight kata tertentu yang ada kaitannya dengan main idea suatu bacaan, dll.). Keseluruhan tes berlangsung dalam waktu kurang lebih 150 menit, untuk Paper and Pencil Based TOEFL, dan kurang lebih 240 menit untuk Computer Based TOEFL. Waktu yang relatif lama untuk Computer Based TOEFL ini sudah termasuk prosedur tutorial.
Ada berapa jenis tes TOEFL?

Terdapat dua jenis tes TOEFL, yaitu 1) Paper and Pencil Based TOEFL; dan 2) Computer Based TOEFL. Jenis tes TOEFL yang pertama adalah tes TOEFL yang kita kenal selama ini, dimana baik soal maupun jawaban dikerjakan dengan menggunakan kertas dan pensil. Sedangkan jenis tes TOEFL yang kedua adalah model tes yang relatif baru karena pertama kali diperkenalkan pada tahun 1998. Seperti yang tertera pada namanya, tes ini menggunakan komputer dalam penyampaian soalnya dan peserta tes akan menjawab tes ini juga melalui komputer.
Selain kedua jenis tes diatas, apakah masih ada jenis tes TOEFL lainnya?

Untuk keperluan pra-seleksi ataupun keperluan intern suatu lembaga, maka ETS sebagai lembaga pengembang dan penyelenggara tes TOEFL juga menyelenggarakan TOEFL ITP (ITP= Institutional Testing Programme). Jumlah soal dan tingkat kesulitan TOEFL ITP tidak berbeda dengan Paper and Pencil Based TOEFL maupun Computer Based TOEFL, karena memang soal-soal yang digunakan pada TOEFL ITP adalah soal tes TOEFL yang telah pernah digunakan sebelumnya. Perbedaan yang perlu diketahui oleh mereka yang merencanakan mengikuti tes TOEFL adalah bahwa skor yang diperoleh dari TOEFL ITP dalam pengunaannya terbatas. Perguruan tinggi di Amerika, misalnya, hanya akan menerima skor yang diperoleh dari Paper and Pencil Based TOEFL atau Computer Based TOEFL. Perbedaan lainnya adalah dalam hal biaya tes. Saat ini biaya Paper and Pencil Based TOEFL maupun Computer Based TOEFL adalah sebesar US $ 110, sedangkan TOEFL ITP biayanya relatif lebih murah yaitu sebesar US $ 25. Perlu juga diketahui bahwa Paper and Pencil Based TOEFL dan Computer Based TOEFL hanya diselenggarakan di Test Center tertentu dengan jadwal tes yang telah ditentukan jauh hari sebelumnya, sedangkan TOEFL ITP jadwal penyelenggaraannya lebih fleksibel dan di Indonesia dilaksanakan oleh IIEF (The Indonesian International Education Foundation) dengan berkoordinasi dengan pusat bahasa yang ada di perguruan tinggi negeri.

Selain TOEFL ITP, juga ada TOEFL Prediction/Equivalent Test yang biasanya digunakan untuk memperkirakan skor TOEFL seseorang sebelum yang bersangkutan mengikuti tes TOEFL lainnya (Paper and Pencil Based TOEFL, Computer Based TOEFL, TOEFL ITP). Jenis tes TOEFL Prediction ini pada umumnya diselenggarakan oleh lembaga/pusat bahasa atau tempat-tempat kursus yang menyelenggarakan pelatihan TOEFL.

5. Apakah ada perbedaan dalam sistim penilaian Paper and Pencil Based TOEFL, Computer Based TOEFL, TOEFL ITP dan TOEFL Prediction Test?

Benar, sistim penilaian atau skor yang digunakan untuk Paper and Pencil Based TOEFL, TOEFL ITP, TOEFL Prediction Test dan Computer Based TOEFL memang berbeda. Hal ini dilakukan tentu dengan maksud agar tidak terjadi kesalahpahaman dalam penafsiran skor yang dilaporkan peserta tes. Rentang skor yang digunakan oleh Paper and Pencil Based TOEFL, TOEFL ITP, dan TOEFL Prediction Test adalah 310 (nilai terendah) s.d 677 (nilai tertinggi), sedangkan untuk Computer Based TOEFL, nilai terendah adalah 0 dan nilai tertinggi 300 (TOEFL Score User Guide, 2000-2001). Tingkat kesulitan soal untuk keseluruhan jenis tes ini tentu saja sama, sehingga dapat dikatakan mereka yang memperoleh skor 677 pada Paper and Pencil Based TOEFL diperkirakan akan memperoleh skor 300 pada Computer Based TOEFL, dan sebaliknya jika seorang peserta tes memperoleh skor 213 dalam tes TOEFL yang menggunakan komputer (Computer Based TOEFL), maka skor yang bersangkutan pada Paper and Pencil Based TOEFL adalah 550.
Bagaimana hubungan skor yang diperoleh dengan tingkat penguasaan bahasa Inggris seseorang?

Secara umum kita mengenal tiga level penguasaan bahasa asing, yaitu Tingkat Dasar (Elementary), Tingkat Menengah (Intermediate), dan Tingkat Mahir (Advanced). untuk skor TOEFL, para ahli bahasa biasanya mengelompokkan skor ini kedalam empat level berikut ( Carson, et al., 1990):

· Tingkat Dasar (Elementary) : 310 s.d. 420

· Tingkat Menengah Bawah (Low Intermediate) : 420 s.d. 480

· Tingkat Menengah Atas (High Intermediate) : 480 s.d. 520

· Tingkat Mahir (Advanced) : 525 s.d 677

Dari klasifikasi skor diatas, mungkin muncul pertanyaan seandainya tes TOEFL diberikan pada mahasiswa Amerika, misalnya, apakah mereka akan kesulitan mengerjakan soal-soal TOEFL? Studi yang dilakukan oleh Johnson (1977) menyebutkan bahwa skor rata-rata yang diperoleh oleh 173 mahasiswa tahun pertama dan kedua di Universitas Tennessee, Amerika Serikat, adalah 628. Artinya, bagi penutur bahasa Inggris sendiri, soal-soal TOEFL bisa dikerjakan dengan mudah, terbukti dari skor yang mereka peroleh yang berada pada level Mahir atau Advanced.

Dengan mengetahui klasifikasi tingkat penguasaan bahasa Inggris seperti yang terlihat diatas, kita tentu bisa memaklumi bahwa sangatlah beralasan mengapa perguruan tinggi di negara-negara yang menggunakan bahasa Inggris sebagai bahasa resminya, mensyaratkan skor TOEFL tertentu bagi calon mahasiswa internasional mereka. Untuk bisa diterima di program S1, skor yang umumnya mereka tetapkan adalah sekitar 475 s.d. 550, sedangkan untuk masuk program S2 dan S3 persyaratan skor TOEFLnya lebih tinggi lagi yaitu sekitar 550 s.d. 600.

Pertanyaan yang sering mengemuka di forum-forum diskusi para pengajar Bahasa Inggris di Indonesia adalah berapa seharusnya penguasaan bahasa Inggris seorang mahasiswa di Indonesia agar mereka mampu menambah wawasan keilmuannya melalui bacaan yang ditulis dalam bahasa Inggris? Penguasaan pada level Dasar (Elementary) tentu tidak akan memberi kontribusi yang berarti bagi para mahasiswa di Indonesia dalam hal upaya peningkatan pengetahuan melalui buku-buku teks/pengetahuan yang ditulis dalam bahasa Inggris. Diperlukan penguasaan minimal pada level Menengah Atas (High Intermediate) agar para mahasiswa bisa menyerap materi perkuliahan yang ditulis dalam bahasa Inggris dengan relatif mudah.

Beberapa perguruan tinggi di Indonesia telah menetapkan skor TOEFL tertentu bagi para mahasiswanya (Huda, 1999). Dalam kaitannya dengan upaya peningkatan kualitas lulusan perguruan tinggi, peraturan yang mengharuskan mahasiswa perguruan tinggi memiliki penguasaan TOEFL sampai pada tingkat tertentu diharapkan akan berdampak positif dan seharusnya kita dukung. Penguasaan bahasa Inggris yang baik diharapkan akan dapat meningkatkan kemampuan berfikir dan bekerja pada tingkat global, suatu kondisi kerja dimasa depan yang perlu kita persiapkan sejak sekarang.

7. Kapan dan dimana seseorang bisa mengikuti tes TOEFL?

Paper and Pencil Based TOEFL dan Computer Based TOEFL hanya bisa ditempuh pada waktu tertentu yang telah terjadwal jauh hari sebelum tes diselenggarakan. Tempat atau testing center dimana kedua tes ini diselenggarakan juga telah ditentukan oleh ETS sebagai pemegang lisensi tes TOEFL. Kedua macam tes TOEFL yang diselenggarakan di testing center tertentu tsb. biasa juga disebut International TOEFL. Hal ini dimaksudkan untuk membedakan keduanya dengan TOEFL ITP dan TOEFL Equivalent/Prediction.

Sedangkan untuk mengikuti TOEFL ITP, peserta tes harus menghubungi Institusi yang telah ditunjuk oleh IIEF Jakarta sebagai tempat pelaksanaan. Untuk pelaksanaan TOEFL ITP diperlukan peserta minimal 10 orang. Balai Bahasa Unmul sejak tahun 2001 merupakan salah satu institusi yang berhak menyelenggarakan TOEFL ITP.

Jenis tes TOEFL Prediction/Equivalent merupakan jenis tes yang paling fleksibel pelaksanaannya. Di Balai Bahasa Unmul, tes ini juga merupakan tes yang paling banyak diikuti oleh mereka yang ingin mengukur penguasaan bahasa Inggris untuk berbagai keperluan. Setiap saat peserta tes dapat mengikuti tes ini dengan menghubungi Balai Bahasa Unmul minimal satu hari sebelum hari penyelenggaraan.